Тип Д33 A33 № 1478 
Задания реальной версии ЕНТ 2021 года на позиции 33
i
Около треугольника ABC, с прямым утлом C и гипотенузой AB = 13 см, описана окружность. Найдите все верные утверждения.
1) угол C опирается на хорду, равную радиусу окружности
2) сyмма квадратов сторон AC и BC равна 144
3) гипотенуза треугольника ABC является диаметром окружности
4) радиус окружности равен 6,5 см
5) центр окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см
6) медиана, проведённая к гипотенузе, является выстой
7) медиана, проведенная к гипотенузе, равна 6,5 см
8) медиана, проведённая к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциям катетов на гипотенузу
Решение. У прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Значит, радиус окружности равен 6,5, диаметр 13, прямой угол C опирается на этот диаметр и по теореме Пифагора 
Отсюда получаем, что 3, 4 и 7 верны, а 1, 2 и 5 неверны.
Утверждение 6 верно только в равнобедренном треугольнике, а утверждение 8 верно для высоты вместо медианы, то есть опять же было бы верно лишь в равнобедренном треугольнике. Нет никакого способа узнать, является ли этот треугольник равнобедренным. Поэтому нельзя узнать, будут ли ответы 6 и 8 верными (но вообще говоря не будут).
Правильные ответы указаны под номерами 3, 4 и 7.
Ответ: 347
PDF-версии: