Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 3555
i

Из ко­ну­са вы­ре­за­ли шар наи­боль­ше­го объёма. Най­ди­те от­но­ше­ние объёма сре­зан­ной части ко­ну­са к объёму шара, если осе­вое се­че­ние ко­ну­са — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

1) дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби
2) дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби
3) дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
4) дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Речь, ра­зу­ме­ет­ся, идет о шаре, впи­сан­ном в конус. Пусть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна  6x. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем от ко­ну­са оста­нет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной  6x, а от шара — впи­сан­ная в этот тре­уголь­ник окруж­ность. Ее ра­ди­ус равен трети вы­со­ты, она же ме­ди­а­на и бис­сек­три­са этого тре­уголь­ни­ка, то есть

r = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 6x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 27x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x.

Объем шара равен

дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в кубе = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе .

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен  3x, вы­со­та равна вы­со­те осе­во­го се­че­ния, то есть  3r = 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x. Зна­чит, объем ко­ну­са равен

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x = 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе .

Сле­до­ва­тель­но, объем остав­шей­ся части ко­ну­са равен

9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе .

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно  дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи x в кубе конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 3\.18\. Шар, 3\.20\. Ком­би­на­ции круг­лых тел, 4\.4\. Объ­е­мы круг­лых тел
Спрятать решение · Помощь